Les chiffres indiens atteignent Bagdad — et deviennent les chiffres du monde

Comment l'on comptait avant les chiffres indiens

Les systèmes numéraux écrits employés par les grandes cultures lettrées avant la diffusion du système décimal positionnel indien partageaient un trait gênant : ils étaient inadaptés au calcul. Ils étaient bons pour consigner des quantités. Ils étaient mauvais pour opérer sur elles.

Le système des chiffres romains, en usage à travers la Méditerranée et la majeure partie de l'Europe jusqu'à la fin du Moyen Âge, employait des symboles distincts pour un (I), cinq (V), dix (X), cinquante (L), cent (C), cinq cents (D) et mille (M). Les autres quantités étaient représentées par composition : VII pour sept, MCMXLV pour 1945. Le système n'a pas de valeur positionnelle — la position d'un symbole n'affecte pas sa signification quantitative, seulement sa relation à ses voisins. Il n'y a pas de symbole pour zéro parce que le système n'a aucune place qui demande à être remplie. Le système peut exprimer tout entier positif jusqu'à quelques milliers sans chaînes ingérables, et un Romain instruit pouvait le lire couramment. Ce qu'il ne pouvait faire, c'est soutenir la multiplication et la division pratiques de grands nombres. Quiconque a tenté de multiplier MCCXLVI par CCCLXXXVII sans convertir d'abord en chiffres indiens en sait la raison ; la structure cumulée non positionnelle résiste aux algorithmes de l'arithmétique posée que l'on enseigne aujourd'hui aux écoliers.¹

Le calcul romain sérieux ne se faisait donc pas par écrit. Il se faisait sur une planche à compter (abaque) — surface plane marquée de lignes horizontales ou de rainures, sur laquelle des cailloux ou des jetons étaient déplacés pour représenter quantités et opérations. L'abaque était un dispositif positionnel quand le système écrit ne l'était pas. Un comptable romain expérimenté pouvait effectuer des calculs substantiels sur l'abaque et n'écrire que le résultat final en chiffres romains. La gestion de la richesse de l'empire romain, la construction des grands ouvrages publics, les recensements de l'imposition impériale — tout cela se conduisait avec l'arithmétique de l'abaque et des registres notariaux.²

Le système numéral grec était, s'il était possible, pire. Le grec utilisait les lettres de l'alphabet comme chiffres : alpha pour 1, bêta pour 2, gamma pour 3, et ainsi de suite jusqu'à thêta pour 9, puis iota pour 10, kappa pour 20, etc., avec des lettres archaïques supplémentaires (digamma, koppa, sampi) introduites pour combler les lacunes. Comme les chiffres romains, les chiffres alphabétiques grecs n'avaient ni valeur positionnelle ni zéro. Le calcul exigeait là encore des aides externes. Les Grecs mathématiciens qui élaborèrent la géométrie euclidienne et les premiers astronomes hellénistiques travaillèrent leurs démonstrations sous forme géométrique précisément parce que l'arithmétique dont ils disposaient n'était pas adéquate à soutenir une manipulation algébrique. L'Arithmétique de Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle apr. J.-C.) est parfois appelée la première algèbre, mais son symbolisme est rudimentaire et ses opérations sont présentées en prose plutôt qu'en étapes de calcul.

Le système sexagésimal mésopotamien (en base 60), employé dans les textes mathématiques et astronomiques cunéiformes, possédait, lui, une valeur positionnelle. C'est le système dont le monde moderne a hérité pour diviser l'heure en soixante minutes et la minute en soixante secondes, le cercle en 360 degrés, le jour en vingt-quatre heures. Les astronomes babyloniens de la fin du Ier millénaire av. J.-C. et du début du Ier millénaire apr. J.-C. atteignirent une précision astronomique inégalée dans la tradition grecque, parce que leur système positionnel soutenait les longs calculs que le travail exigeait. Mais le système n'avait pas de symbole net pour zéro aux époques anciennes (les Babyloniens utilisaient un vide positionnel ; plus tard, ils introduisirent un repère de remplacement), et il ne se diffusa jamais au-delà des cultures bureaucratiques utilisant le cunéiforme.³

Les chiffres chinois avaient un caractère hybride — les chiffres écrits du quotidien étaient non positionnels, comme les romains, mais les chiffres en barres utilisés par les mathématiciens et les astronomes (système dans lequel des baguettes à compter d'orientations différentes représentaient les chiffres dans des positions différentes) étaient essentiellement positionnels. Dès l'époque han, les mathématiciens chinois disposaient d'une tradition positionnelle opérationnelle pour les besoins du calcul, bien qu'elle fût portée par la manipulation physique de baguettes plutôt que par la notation écrite. La tradition chinoise produisit des mathématiques sophistiquées — les Neuf Chapitres sur l'art mathématique du début de la période impériale contiennent des algorithmes pour résoudre des systèmes d'équations linéaires —, mais la notation écrite ne se généralisa pas en un système positionnel universel.⁴

Les mathématiciens indiens opéraient dans un environnement différent. À la fin de la période Gupta et au début de la période post-Gupta (Ve au VIIe siècles apr. J.-C.), ils utilisaient un système décimal positionnel écrit avec neuf glyphes-chiffres (1 à 9) et — point critique — un symbole écrit pour zéro qui fonctionnait comme indicateur de position. Le plus ancien zéro écrit datable de manière non ambiguë se trouve sur une inscription de temple à Gwalior, en Inde centrale, en 876 apr. J.-C., mais le système lui-même est documenté dans des œuvres mathématiques au moins deux siècles plus tôt et était probablement en usage savant depuis plusieurs siècles auparavant.⁵

Ce que fit Brahmagupta

Le mathématicien indien Brahmagupta, travaillant à Bhillamala (l'actuelle Bhinmal au Rajasthan) en 628 apr. J.-C., produisit la Brāhmasphuṭasiddhānta (« Doctrine correctement établie de Brahma »), un traité exhaustif de mathématiques et d'astronomie. L'ouvrage n'était pas le premier texte indien à utiliser le système positionnel — l'Aryabhatiya d'Aryabhata, en 499 apr. J.-C., avait employé une notation apparentée, et les Sulbasūtras antérieurs et la littérature grammaticale avaient présupposé une arithmétique positionnelle. Ce que fit Brahmagupta, c'est de la rendre systématique. Il donna des règles arithmétiques explicites pour les opérations sur les nombres positifs, sur les nombres négatifs et sur le zéro. Il traita le zéro non pas seulement comme un indicateur de position mais comme un nombre — une quantité qui pouvait être ajoutée à, soustraite de, multipliée avec et (à la fameuse exception près que la division par zéro produit un résultat indéfini) divisée en d'autres nombres.⁶

Les règles de Brahmagupta comprenaient : la somme de deux positifs est positive ; la somme de deux négatifs est négative ; la somme d'un positif et d'un négatif est leur différence ; le produit de deux signes semblables est positif, de deux signes contraires est négatif ; zéro soustrait de tout nombre donne ce nombre ; tout nombre divisé par zéro produit (mot de Brahmagupta) kha-cheda — « divisé par le vide » —, qu'il traita comme une quantité non bornée plutôt que comme un résultat indéfini net. Le traitement de la division par zéro ne serait pas pleinement réglé dans la pensée mathématique avant un autre millénaire, mais le cadre que Brahmagupta avait posé est celui sur lequel tous les travaux ultérieurs allaient bâtir.

Brahmagupta donna également des procédures systématiques pour résoudre des équations linéaires et quadratiques, calcula avec une précision substantielle les volumes et les aires de figures géométriques, et présenta un modèle astronomique sophistiqué qui calculait les positions planétaires, les éclipses, et les durées de l'année et du mois lunaire. Le modèle astronomique était, à certains égards, en avance sur l'astronomie grecque contemporaine dans son traitement du mouvement planétaire. Le traité étend également les travaux indiens antérieurs sur les équations diophantiennes, sur les identités algébriques et sur ce que l'on appellerait plus tard la combinatoire.

La tradition mathématique indienne qui produisit la Brāhmasphuṭasiddhānta n'était pas une tradition à auteur unique. Elle bâtissait sur des travaux antérieurs — ceux d'Aryabhata, ceux de Bhāskara Ier (quasi-contemporain de Brahmagupta), ceux de l'école mathématique jaïna. Elle serait étendue par Bhāskara II au XIIe siècle, dont la Līlāvatī et le Bījagaṇita sont lus en Inde aujourd'hui comme des textes mathématiques fondateurs. La Brāhmasphuṭasiddhānta est l'ouvrage qui voyagea vers l'ouest, mais il voyagea comme la pointe visible d'une tradition bien plus vaste et bien plus ancienne.

La transmission vers Bagdad

Le chemin qui mena des mathématiques savantes indiennes à la cour abbasside de Bagdad passa par des contacts diplomatiques et savants que les histoires plus anciennes sous-soulignent parfois. Le sous-continent indien et le monde iranien avaient été en contact savant soutenu pendant des siècles avant qu'aucun calife arabe n'existât ; la Perse sassanide, l'empire qui tomba devant les conquêtes arabes au milieu du VIIe siècle, avait accueilli des astronomes indiens et traduit des œuvres astronomiques indiennes en pehlevi (moyen perse) sous Khosrow Anushirwân (r. 531-579) à sa cour de Ctésiphon. Certaines de ces versions pehlevies des œuvres astronomiques indiennes survécurent à l'effondrement sassanide et furent traduites en arabe aux VIIIe et IXe siècles.

La tradition la plus précisément datée est celle de l'ambassade vers 770 apr. J.-C. Le bibliographe Ibn al-Nadīm, rédigeant son catalogue al-Fihrist en 988, rapporte qu'une ambassade savante indienne arriva à la cour du calife al-Manṣūr (r. 754-775) porteuse de textes astronomiques sanskrits. Al-Manṣūr ordonna que les textes fussent traduits en arabe. Le principal traducteur, désigné dans les sources arabes comme Yaʿqūb ibn Ṭāriq et Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī, produisit le Sindhind — version arabe qui combinait la Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta avec des œuvres astronomiques indiennes apparentées.⁷ Par le Sindhind, les chiffres décimaux indiens, le zéro, et les règles d'opération sur ceux-ci entrèrent dans la science de langue arabe.

La Maison de la Sagesse

Le cadre institutionnel dans lequel la transmission s'acheva fut le Bayt al-Ḥikma — la « Maison de la Sagesse » — à Bagdad. L'institution avait existé sous une forme ou une autre depuis le règne d'al-Manṣūr comme bibliothèque et bureau de traduction, mais elle fut grandement étendue sous al-Maʾmūn (r. 813-833), qui en fit le centre de l'une des plus grandes entreprises de traduction soutenue que le monde eût encore vues. Des œuvres philosophiques, mathématiques, médicales et scientifiques grecques étaient rendues en arabe à partir des originaux grecs ou de traductions syriaques antérieures ; des œuvres astronomiques et mathématiques sanskrites étaient rendues à partir des originaux sanskrits ou de versions pehlevies antérieures ; des œuvres historiques et littéraires persanes étaient absorbées dans la nouvelle tradition savante arabe. L'engagement institutionnel était délibéré : al-Maʾmūn et ses successeurs finançaient le savoir à une échelle sans précédent, en partie pour rivaliser avec l'établissement intellectuel byzantin et en partie parce qu'ils comprenaient la maîtrise du savoir hérité des civilisations méditerranéennes et indiennes antérieures comme un marqueur de la légitimité califale.

Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (vers 780 - vers 850) fut la figure de la Maison de la Sagesse dont le travail rendit les chiffres indiens canoniques pour le monde de langue arabe. Le surnom d'al-Khwārizmī suggère une origine au Khwārizm, une région d'Asie centrale autour de la mer d'Aral (son nom dans les sources latines devint Algoritmi). Il travailla à la cour d'al-Maʾmūn et produisit deux œuvres mathématiques fondatrices.

La première, Kitāb al-Jabr wa-al-Muqābala (« Livre de la restauration et de l'équilibrage »), vers 825 apr. J.-C., présentait une théorie systématique des équations — résolvant les équations linéaires et quadratiques par des procédures standardisées, classant les types d'équations en un petit nombre de formes canoniques, démontrant chaque procédure par des exemples numériques travaillés et des preuves géométriques. L'ouvrage donna à l'anglais le mot algebra (de al-jabr, l'opération consistant à déplacer un terme soustrait de l'autre côté d'une équation). Il fut traduit en latin au XIIe siècle — d'abord par Robert de Chester à Tolède en 1145, puis par Gérard de Crémone peu après — et entra dans le cursus latin des nouvelles universités fondées à la même période.⁸

La seconde, Kitāb al-Jamʿ wa-al-Tafrīq bi-Ḥisāb al-Hind (« Livre de l'addition et de la soustraction selon la méthode des Indiens »), donna une exposition arabe claire de l'arithmétique décimale positionnelle indienne. L'original arabe est perdu ; l'œuvre ne survit que dans des traductions latines du XIIe siècle sous le titre Algoritmi de numero Indorum — « Al-Khwārizmī sur les nombres des Indiens ». De la phrase d'ouverture latine, le Moyen Âge européen tira le mot algorisme, plus tard algorithme, pour désigner toute procédure de calcul systématique. Tout usage moderne du mot algorithme — en informatique, en publicité, dans la critique du capitalisme de plateforme — descend d'une translittération latine du nom d'un mathématicien arabe khwarizmien.⁹

L'entreprise de la Maison de la Sagesse produisit, en l'espace d'un siècle après le travail d'al-Khwārizmī, une tradition mathématique arabe florissante. Al-Battānī (vers 858-929) raffina l'astronomie trigonométrique. Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī (940-998) élabora les identités trigonométriques que la trigonométrie occidentale utiliserait pendant le millénaire suivant. Al-Bīrūnī (973-1048) écrivit une étude comparative exhaustive de l'astronomie indienne (Taḥqīq mā li-l-Hind) qui demeure un document fondateur de l'historiographie du contact mathématique transculturel. Omar Khayyām (1048-1131) étendit l'algèbre khwarizmienne à la résolution systématique des équations cubiques. La réussite cumulée des mathématiques arabes du IXe au XIIe siècles fut, en termes absolus, la période la plus productive de travail mathématique que le monde méditerranéen eût connue depuis l'Alexandrie hellénistique — et elle reposait sur l'intégration des sources grecques, indiennes et persanes que la Maison de la Sagesse avait menée.

L'arrivée en Europe latine

L'Europe chrétienne latine était, aux IXe et Xe siècles, en plus mauvais état mathématiquement que ne l'avait été le monde romain mille ans plus tôt. La tradition mathématique grecque classique avait été substantiellement perdue en Occident ; ce qui demeurait, c'étaient les manuels du Boèce de la fin de Rome, un Euclide abrégé en traduction latine, et l'arithmétique pratique associée aux agrimensores romains tardifs (arpenteurs). L'arithmétique positionnelle était inconnue. L'abaque et les chiffres romains étaient les outils opérationnels des comptables monastiques et des trésoriers royaux.

La transmission des chiffres indo-arabes à l'Europe latine emprunta trois canaux. Le premier et le plus conséquent fut l'école de traduction de Tolède, à l'œuvre lors et au lendemain de la conquête chrétienne de Tolède en 1085. Tolède avait été un centre du savoir andalou sous la domination musulmane ; après la conquête, la cité conserva sa communauté savante multilingue (chrétiens arabophones, mozarabes ; juifs arabophones ; musulmans arabophones qui restèrent pendant plusieurs générations) et devint le site principal où les textes mathématiques, philosophiques et scientifiques arabes furent rendus en latin. Parmi les traducteurs, Gérard de Crémone, qui passa quarante ans à Tolède et produisit des versions latines de plus de soixante-dix œuvres arabes, dont le Kitāb al-Jabr d'al-Khwārizmī, l'Almageste de Ptolémée (que les Arabes avaient préservé) et de grands textes aristotéliciens et médicaux. La culture savante latine des premières universités — Bologne fondée vers 1088, Paris vers 1150, Oxford vers 1167 — fut substantiellement bâtie sur les traductions de Tolède.¹⁰

Le deuxième canal fut la Sicile, qui avait été sous la domination arabe depuis le IXe siècle jusqu'à la conquête normande de 1091. Les traducteurs siciliens travaillèrent à partir de sources grecques et arabes pour les cours normande et plus tard hohenstaufen à Palerme. Le troisième fut le canal commercial — les marchands italiens en affaires avec les ports nord-africains et levantins apprirent l'arithmétique arabe de manière opérationnelle et la rapportèrent chez eux. Léonard de Pise, dit Fibonacci (vers 1170 - vers 1240), voyagea avec son père marchand à Bougie (l'actuelle Béjaïa, en Algérie), étudia l'arithmétique arabe auprès de maîtres musulmans, et de retour en Italie écrivit le Liber Abaci de 1202 — introduction aux chiffres indo-arabes et à leur usage dans le calcul commercial qui devint, lentement, le texte standard sur la nouvelle arithmétique pour les marchands européens. Le système supplanta les chiffres romains dans la comptabilité commerciale italienne au cours des XIIIe et XIVe siècles, dans les mathématiques académiques au cours des XIVe et XVe, et dans la vie lettrée quotidienne en Europe au XVIIe siècle.¹¹

Ce qu'il a remplacé — et ce qu'il a changé

Les chiffres indo-arabes remplacèrent, dans leur réception européenne, le système des chiffres romains qui avait dominé la lettrisme européenne médiévale pendant plus d'un millénaire. Ils remplacèrent aussi — lentement dans certains secteurs, instantanément dans d'autres, sur des siècles ailleurs — l'abaque comme principal outil de calcul. Avec la notation positionnelle écrite, le calcul pouvait se faire sur le papier au lieu de jetons ; le résultat pouvait être vérifié, la procédure pouvait être enseignée, la méthodologie pouvait être consignée dans des manuels et examinée.

Ce qui changea du fait de la nouvelle arithmétique est considérable. La comptabilité italienne en partie double, qui émergea aux XIIIe et XIVe siècles, est essentiellement impossible sans l'arithmétique positionnelle — l'opération sous-jacente de crédits et de débits requiert l'addition et la soustraction fluides de longues listes de chiffres de magnitudes variables, ce que l'arithmétique de l'abaque pouvait faire mais que l'arithmétique en chiffres romains ne pouvait. La croissance des cités commerciales européennes et des instruments financiers qui les accompagnèrent — lettres de change, sociétés en commandite, montages par actions — dépendit de comptables capables de tenir des livres cohérents dans la nouvelle arithmétique. La révolution commerciale de l'Europe moderne précoce reposait sur les nouveaux chiffres.¹²

La révolution scientifique des XVIe et XVIIe siècles fut plus dépendante encore. Galilée, Kepler, Newton et les systématiseurs de la philosophie naturelle mathématique européenne travaillaient dans une notation qui permettait la manipulation algébrique, le calcul de longs nombres décimaux et la représentation systématique des équations. Le passage de la médecine aristotélicienne qualitative de Galien à la tradition expérimentale quantitative de la philosophie naturelle du XVIIe siècle se fit en partie sur la nouvelle arithmétique. Les Principia de Newton, en 1687, sont inimaginables en chiffres romains — non comme une impossibilité graphique mais comme une impossibilité intellectuelle ; l'appareil symbolique qui soutient le raisonnement des Principia dépend de procédures de calcul que l'ancienne notation ne pouvait soutenir.

Ce que le système remplaça dans les mondes indien et islamique est une question plus subtile. L'Inde garda sa notation décimale ; le système y était déjà présent et la réception sur ces territoires ne fut pas un remplacement mais une continuité. Le monde islamique avait utilisé plusieurs systèmes plus anciens avant d'adopter les chiffres indiens — y compris le système numéral alphabétique abjad, dans lequel les lettres arabes servaient de chiffres — et le nouveau système supplanta ceux-ci dans l'écriture scientifique tandis que l'abjad demeura en usage pour certaines applications traditionnelles. Le passage de l'ancienne à la nouvelle notation dans le monde islamique était largement achevé à la fin de la période abbasside.

Ce que le prix a été

Voici la transmission unique la plus nette documentée dans l'atlas Hidden Threads. Le noyau intellectuel — la notation de Brahmagupta voyageant vers le Bagdad d'al-Khwārizmī, puis vers l'Italie de Fibonacci, puis vers le monde moderne — ne porta ni extraction, ni peste, ni conquête au moment d'aucune étape de transmission. Les astronomes indiens venus à la cour d'al-Manṣūr le firent en émissaires honorés ; les traducteurs arabes qui en rendirent les textes le firent en savants sous le mécénat califal ; les traducteurs latins qui portèrent ensuite le système en Europe le firent par des échanges commerciaux et académiques. Le système lui-même bénéficia du voyage — les règles de Brahmagupta furent étendues par al-Khwārizmī et ses successeurs ; les adoptants européens y ajoutèrent les innovations comptables que le système permettait.

Mais les contextes aux extrémités réceptrices ne furent pas tous nets.

La Maison de la Sagesse de Bagdad fut détruite en février 1258 lorsque l'armée mongole de Houlagou Khan mit la cité à sac. La destruction de Bagdad tua, selon les estimations, de 90 000 à 200 000 habitants (les chroniqueurs arabes médiévaux donnent des chiffres allant jusqu'au million ; les estimations modernes sont plus basses) et incendia les bibliothèques qui avaient hébergé le registre manuscrit cumulé des quatre siècles précédents de savoir arabe. Le Tigre, dit-on, aurait coulé noir d'encre des manuscrits détruits (détail pittoresque d'une exactitude invérifiable). Quel que soit le chiffre précis, l'infrastructure institutionnelle qui avait porté les chiffres indiens en arabe disparut en une semaine de violence soutenue de siège. La destruction mongole de Bagdad est une perte permanente de la transmission culturelle, à mettre en regard du don des chiffres : une institution qui avait absorbé les savoirs grec, indien et persan, les avait synthétisés et avait produit un travail original pendant quatre siècles, fut effacée en février 1258.¹³

La réception européenne latine s'effectua à travers des territoires que les puissances chrétiennes prenaient aux musulmans et aux juifs. Les traductions de Tolède eurent lieu dans une cité que les forces castillanes chrétiennes avaient prise en 1085 ; les traductions siciliennes eurent lieu à une cour qui avait hérité de la domination d'une population arabe récemment déplacée. La Reconquista ibérique, qui s'acheva à Grenade en 1492, fut suivie en quelques mois de l'expulsion de la population juive ibérique (environ 200 000 déplacés) et de la conversion forcée de la population musulmane ibérique restée, avec l'expulsion finale des Morisques en 1609 (environ 300 000 déplacés). La Reconquista ibérique est documentée séparément dans cet atlas comme la transmission de l'ère de l'enchevêtrement « Aristote revient en Europe par Tolède » (à venir), où le cadrage du coût est traité en détail. Le point ici est que la transmission des chiffres depuis al-Andalus jusqu'à l'Europe chrétienne s'effectua au-dessus du même processus politique qui détruisit al-Andalus.

Ce que le monde a hérité, c'est l'outil mathématique le plus net jamais conçu. Ce que le monde a aussi hérité, sur les arcs parallèles, c'est la bibliothèque détruite de Bagdad et l'écologie culturelle détruite d'al-Andalus. Les chiffres sur la page de cet article — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 — sont un don indien, un raffinement arabe et une transmission latine. Les contextes des trois étapes furent bons et mauvais à la manière dont l'histoire réelle est bonne et mauvaise. Le système lui-même est sans ambiguïté un don. Ce qui se trouvait sur les bateaux et de l'autre côté des frontières à ses côtés ne fut pas tout entier un don.