ゼロが数になる——ブラフマグプタの計算法則（六二八年）

以前——無を表す数を持たずに数えていた世界

数を伴わない位取りの着想

紀元七世紀までに、インド亜大陸の数学者たちは、他のいかなる文字文化も維持し継承し得なかったあることを成し遂げていた。位置によって数を書き記す方法である。位取り記数法においては、同じ少数の記号が、置かれる場所に応じて異なる大きさを意味する。十の桁の３は三十であり、百の桁の３は三百である。天文学者アーリヤバタは、五〇〇年頃クスマプラの近くで『アーリヤバティーヤ』を著し、その支配原理を数学者らしい凝縮でもって既に述べていた。桁から桁へ、それぞれが前の十倍である、と¹。十進の梯子は組み上げられた。まだ組み上げられていなかったもの——数としてではなく、単なる空隙としてしか存在しなかったもの——は、その梯子を安定させる横木であった。空の桁を表す記号、そしてそれよりはるかに困難な、その記号を一個の量として扱う手立てである。

この区別のうえに記録全体が旋回する。ここは正確を期す価値がある。というのも、俗な標語——「インドがゼロを発明した」——は、まったく異なる二つの発明を一つに押し潰してしまうからである。「この桁には何もない」ことを示す位取りの記号は、記法上の便宜にすぎず、いくつかの文化がそれぞれ独立に到達した。バビロニア人は紀元前三世紀までに、粘土板に六十進法の数を記す際、一対の斜めの楔で空の位を示していた。マヤ人は長期暦のためにゼロを表す貝殻の字形を刻んだ。これらは位取りの記号である。それらは書記の狭い問いに答える——この桁は埋まっているか、と。それ以上ではない。いずれも、加え、引き、繰り上げることのできる数ではない。

ビッラマーラが継承したもの

決定的な一歩が踏み出された町は、帝国の首都ではなかった。ビッラマーラ——現在のビンマール、南ラージャスターンと北グジャラートが接する乾いた土地にある——はグルジャラデーサの首邑であった。六四〇年代にこの地方を通過した中国の巡礼僧・玄奘は、これを西方辺境の相当な規模の王国として記している。それは学問の地方的中心であって、サンスクリット科学の大都会的中枢ではなかった。その中枢はウッジャインであった。インド天文学の本初子午線が走ると見なされた、回帰線上の天文台の都である。ブラフマグプタは後にウッジャインと結びつけられ、その天文台の長と称されることもある。だが『ブラーフマスプタシッダーンタ』そのものはビッラマーラの書物であり、大多数の数学史家が地図上に位置づけられぬ町で完成されたのである²。

この地方天文学者が継承したものは、豊かで具体的であった。彼は十進位取り記数法を継承した。彼はサンスクリットの数学用語を継承した。そこではゼロが既に名を持っていた——シュンヤ、「空虚」「空」であり、不在を一つの範疇として異例なほど自然に受け入れる哲学的・文法的文化から汲み取られた名である。数世紀前に体系化されたパーニニの文法は、ロパ（lopa）という概念を用いた。予期された音が脱落しながらも、その位置は残るという文法上の「ゼロ」である。仏教およびその後の哲学的諸伝統は、実在するものとしての空について熱心に取り組んだ。構造化された無について思考しうる文化は、他のほとんどの文化と異なり、無が数となることを許す準備ができていた。

この数学的文化の二つの特徴は、名を挙げておくに値する。両者が相まって、なぜゼロの実体化がアテネやアレクサンドリアではなくここで起きたのかを説明するからである。第一は数詞語の体系——ブータサンキヤー（bhūtasaṃkhyā）、すなわち「物象数」である。天文学者や詩人はこれを用いて、数を韻律あるサンスクリット詩に織り込めるよう、数字を馴染みある名詞に暗号化した。カ（kha）、アーカーシャ（ākāśa）、シュンヤ、ビンドゥ（bindu）——「天」「空間」「空虚」「点」——はすべてゼロを意味するのに用いられた。ゼロを十いくつもの異なる名で日常的に語り、それらの名を詩に据える伝統は、裸の位取り記号がけっして得ることのない言語的堅固さを、既にこの概念に付与していた。第二に、インド天文学はギリシャ幾何学がついぞ要求しなかった規模で、きわめて大きな数と絶えざる再計算を必要とした。数百万年で数えられる惑星の周期、手作業で計算され再計算される位置。かかる算術を扱いやすくする記法は贅沢ではなく実務上の必需であり、その必需がゼロも含めた位取り記数法を日々の連続的使用のうちに保った。

哲学的背景もまた重要であった。A・K・バグ（A. K. Bag）とS・R・サルマ（S. R. Sarma）が編んだ論集『The Concept of Śūnya』（2003）に収められた専門論考は、数学的ゼロがいかにして——文法的、論理的、形而上学的な——空へのより広いインド的習熟から力を得たかを跡づけている¹³。これは数学を神秘化するためではない。ブラフマグプタの規則は瞑想的ではなく、鋭利で操作的である。しかし文化的事実は揺るがない。その数を表す語は、既に構造化され思考可能な不在を表す語でもあり、位取り記号はそれを取り巻く言語から重みを受け継ぐのである。

競合するシッダーンタたちの世界

古代インド数学を、静謐で無名の洞察の蓄積として思い描きたくなる。だが実態はそれとはまったく異なった。サンスクリット天文学は競合する諸学派——パクシャ（pakṣa）——に組織され、それぞれが自らの正典たるシッダーンタ、年の長さと惑星の運動についての独自のパラメータ、そして激しい信奉者を擁していた。ブラフマグプタはブラーフマパクシャに属した。彼は先行する権威たち——アーリヤバタ、ラータデーヴァ、ヴァラーハミヒラ、シュリーシェーナ、ヴィジャヤナンディン——を研究し、そして名指しで、韻文において彼らを攻撃した。

『ブラーフマスプタシッダーンタ』は、科学的な慎みを期待する読者を驚かせるほどに論争的である。ブラフマグプタは一章まるごとを難詰に充て、アーリヤバタとその追随者の誤りと彼が見なすものを、ほとんど嬉々として列挙する。ここでの知は交わりではなく闘争を通じて動いた。読者はこれを心に留めておくべきである。というのも、それは整然とした継承の物語を複雑にするからである。数としてのゼロの規則は、数学を戦いの場と見なし、後世に有用であること以上に、好敵手に対して正しくあることに関心を寄せた男によって書かれたのである。規則が生き延びたのは、伝統が穏やかだったからではなく、それらがより優れていたからである。

その競争は単に気質的なものではなく、制度的であり、賭け金があった。一つのパクシャの権威は、そのパラメータの正確さ——誰もが夜空に照らして検証しうる食や合を、その天文表がどれほどよく予測するか——に依拠していた。好敵手の年の長さが誤っていると示すことは、庇護と門弟と地位を勝ち取ることであった。ブラフマグプタの難詰の章は、こう見れば、いわれのない無礼ではなく、この形式が許す唯一の記法——韻文——で遂行された専門的論争である。彼はアーリヤバタのパラメータを訂正し、その食理論に異を唱え、その不一致を和らげなかった。先人を打ち壊すことによって数学を前進させる同じ書物が、ゼロの算術を初めて成文化した書物でもあるという事実は、有益な想起となる。すなわち、構築と破壊という二つの衝動は、一つの精神と一つのテクストのうちにともに走っていたのである。

伝播——六二八年と不在の実体化

ビッラマーラのブラフマグプタ

六二八年、およそ三十歳のとき、ブラフマグプタは『ブラーフマスプタシッダーンタ』——「正しく確立されたブラフマの教義」——を完成させた。天文学を営むために必要な数学を貫かせた、二十四章（第二十五章は後に加えられた）の天文学書である。書物の大部分は天界を論じる。惑星の平均位置と真位置、食、出没、合。だが二つの章——第十二章、算術（ガニタ、gaṇita）についての章と、第十八章、彼がクッタカ（kuṭṭaka）と呼び、我々が代数と呼ぶものについての章——が、この書物を天文学をはるかに超えて重要たらしめた素材を含む³。

その舞台がいかに平凡であったかは、強調するに値する。学院もなく、奥書に記された庇護者もなく、千年後にヨーロッパのあらゆる会計簿を支えることになる一文を書いているという自覚も、テクストのうちには見当たらない。彼は天文学者のための技術的手引きを書いていたのであり、それら天文学者が必要とする算術を定める過程で、ゼロと負数を扱う規則を、あたかもそれらが計算の道具立ての一部にすぎぬかのように書き記したのである。その無造作さそのものが証拠である。六二八年までにインドの伝統は、実務にあたる天文学者がこれらの着想を仰々しさなく述べうるほど長く、それらとともに生きてきたのだ。

ブラフマグプタは数の狭い専門家ではなかった。『ブラーフマスプタシッダーンタ』は完全な天文学体系であり、彼は数十年後、より実用的な第二の手引書、六六五年の『カンダカーディヤカ』において、この主題に立ち返った。惑星位置の日常的計算のためのものである。彼は補間法に取り組んだ。ある種の不定方程式の解——いわゆるペル方程式 x² = 1 + p·y² を含む。これを彼は、方程式の名の由来となったヨーロッパ人たちより千年以上前に攻略した——にも取り組んだ。そして円に内接する四辺形の幾何学にも取り組み、その面積を求める公式には今なお彼の名が冠されている。ゼロの規則は、この、より大きな達成の内部に数ある道具の一つとして収まっている。それゆえに、その世界史的な重みが著者本人には自明でなかったのである。彼は実務にあたる天文学者であり、実務上の問題を解いていた。そしてその道具の一つが、たまたま無の実体化だったのだ。

演算対象としてのゼロ——財と負債の規則

ここが、それ以前の現存するいかなるテクストも踏み出さぬ一歩である。ブラフマグプタは単に位取り記号を用いるにとどまらない。彼はゼロを用いて、そして無より小さい量を用いて計算するとき何が起こるかを定義する。彼は負と正を商業の具体的言語で枠づける——ダナ（dhana）、「財」「富」を正に、リナ（ṛṇa）、「負債」を負に——そのうえで算術を敷衍する。H・T・コールブルック（H. T. Colebrooke）が一八一七年に施したサンスクリットの英訳では、その規則はほとんど連禱のように読める⁴。

• 「負債からゼロを引けば負債である。財からゼロを引けば財である。ゼロからゼロを引けばゼロである。」
• 「ゼロから引かれた負債は財であり、ゼロから引かれた財は負債である。」
• 「ゼロに負債もしくは財を掛けた積はゼロである。ゼロにゼロを掛けた積はゼロである。」
• 「二つの財の積もしくは商は一つの財であり、二つの負債のそれは一つの財であり、負債と財のそれは一つの負債である。」

二行目をもう一度読まれたい。「ゼロから引かれた財は負債である。」これが符号規則——無から正を引けば負を生じる——であり、七世紀に明晰に述べられている。その力にもかかわらずギリシャ数学が負量にまったく居場所を与えられなかった時代、そしてヨーロッパの数学者が十六・十七世紀に至るまで負を「不合理」あるいは「架空」と呼び続けていた時代のことである。ブラフマグプタはたじろがなかった。負債は財と同じく実在した。ゼロは両者のあいだの均衡点であり、それは規則に従った。歴史家ビブーティブーシャン・ダッタ（Bibhutibhusan Datta）とアヴァデーシュ・ナーラーヤン・シング（Avadhesh Narayan Singh）——その二巻本『History of Hindu Mathematics』（1935）は今なお標準的な概説である——は、この一節を主題全体の要と扱う。算術が物を数える技法であることをやめ、自らの抽象物を演算しうる閉じた体系となる瞬間である⁵。

地中海の伝統との対比が、ブラフマグプタの達成を際立たせる。ギリシャ数学は圧倒的に幾何学的であった。数とは長さであり、面積であり、量と量のあいだの比であって、無より小さい量とは語義矛盾であった。何もない線よりさらに短い線を引くことはできない。三世紀のアレクサンドリアで、ギリシャ算術に可能なことの最果てで働いたディオファントスは、負の根を生じる方程式を「不合理」と呼んだ。その反射はブラフマグプタが書いたのちも千年以上ヨーロッパに存続した。ルネサンスの代数学者たちは依然として負の解をヌメリ・フィクティ（numeri ficti）、「架空の数」、あるいはヌメリ・アプスルディ（numeri absurdi）と名づけ、自らの方法がそれを生み出したときでさえ、それを認めることを渋った。ブラフマグプタは六二八年、そうした逡巡を抱かなかった。彼の負は長さではなく負債だったからである。そして負債は、財と同じく実在し、同じく計算可能である。符号規則を幾何学ではなく商業に基礎づけることによって、インドの伝統は、ギリシャ人とそのヨーロッパの継承者を千年にわたって縛った概念的障壁をすり抜けたのである。

誠実な誤り——ゼロによる除算

続いてブラフマグプタは、偉大な数学者を単に慎重なだけの数学者から分かつことを行った。彼は規則をその破綻点まで押し進め、そして誠実に破綻した。彼はゼロで割るとき何が起こるかを問うた。彼の答えは、ゼロを分母とする分数であった——彼はかかる量をカハラ（khahara）、「ゼロを除数として持つもの」と名づけた——そして彼は、誤って、ゼロをゼロで割ればゼロになると主張した。彼はゼロによる除算を解かなかった。誰も解いてはいない。それには解がなく、その演算は端的に定義されない、というのが現代の判定だからである。だが彼は、それを解くよりも価値あることを行った。彼はそれを未解決の問題として書き留め、誤った答えを一つの標識として立てたまま残したのである。

後のインドの伝統は、彼が残した境界に取り組んだ。五世紀を経て、バースカラ二世は『リーラーヴァティー』と『ビージャガニタ』（1150年）において、答えの方向を訂正した。ゼロで割られた量は「無限量」（カハラ）となり、いかほど加えられ、あるいは取り去られても変わらぬ、と彼は書いた。「無限にして不変なる神が、世界の破壊もしくは創造の時にあって、無数の生類が吸収され、あるいは生み出されようとも、なんら変化を被らぬがごとくに」。神学的な装飾はバースカラのものである。だが数学的直観——ゼロで割ることは量を限りなきものへと駆り立てるという——は、ブラフマグプタの平板なゼロよりも、現代の極限に近い。この記録にとって肝要なのは、その探究の形である。すなわち、隠されるのではなく記録された一つの誤りであり、伝統はそののち幾世紀もかけてそれを訂正していったのである。

バクシャーリーの点と長い定着

ブラフマグプタの規則は概念上の出来事であって、記法上の出来事ではなかった。書かれた記号——白樺樹皮の一葉や寺院の壁でゼロを表す小さな円、あるいは太い点——は、それ自体もつれた歴史を持ち、この二つの糸は分けておかねばならない。我々が有する最古の物理的なインドのゼロは、はるか後代の写本でしか現存しないブラフマグプタの原稿からではなく、他の物体から来る。バクシャーリー写本、すなわち一八八一年にペシャーワル近郊で発見され、現在オックスフォードのボドリアン図書館に収蔵される白樺樹皮の数学論考は、全篇にわたって位取り記号として一つの充実した点を用いている。

Unknown scribe(s), Bakhshali manuscript. Bodleian Library, University of Oxford (MS. Sansk. d. 14). Public domain (faithful reproduction of a two-dimensional artifact) via Wikimedia Commons. · Public Domain

その点がどれほど古いかは、数学史における鋭い論争の一つとなった。二〇一七年、ボドリアン図書館は白樺樹皮の三葉を放射性炭素年代測定にかけ、早くも三世紀ないし四世紀という年代を発表した。それらの葉の上の点が樹皮と同じほど古いのであれば、インドの書かれたゼロは、誰もが考えていたより数世紀さかのぼることになる。この結果に際してマーカス・デュ・ソートイ（Marcus du Sautoy）は、「今日われわれは、ゼロの概念が世界中で用いられ、デジタル世界の鍵となる構成要素であることを当然と見なしている」と述べた¹⁴。しかしインド数学史の国際的な研究者集団——キム・プロフカー（Kim Plofker）、ハヤシ・タカオ（Takao Hayashi）ほか——は強く反論し、その異論は学問的慎重さの範型である。この写本は年代の異なる葉が綴じ合わされて書かれており、最古の樹皮片の年代を測ることは、他の片に書かれた文字の年代を測ることにはならない、と。安全な結論は慎重なものである。インドは紀元後第一千年紀の中葉までに書かれた位取り記号のゼロを有し、それを連続的で日常的な数学の使用のうちに持っていた。しかし、確実に年代づけられる単一の最古例は、見出しが示唆したものより後代で、より控えめなのである。稲妻の一撃ではなく、定着である。

この論争は立ち止まる価値がある。それはこのアトラスの典拠に対する規律を縮図で示すからである。物語のロマンティックな版は、単一の最古のゼロ——数字の出生証明書——を欲しがり、二〇一七年の見出しはそれを供給するかに見えた。慎重な版は、バクシャーリー写本が複合的な物体、長い期間にわたって書かれ再製本された白樺樹皮の葉であることに気づく。したがって、ある一葉からの放射性炭素年代は、その葉の樹皮の年代であって、それ以上ではない。全体に刻まれた数学の年代ではないのだ¹¹。この分野の最も厳密な研究者に数えられるキム・プロフカーとハヤシ・タカオは、まさにこの異論を唱え、それは持ちこたえている。それゆえ誠実な言明は控えめなものとなる。インドの伝統は紀元後第一千年紀の中葉のどこかで書かれた位取り記号のゼロを所有し、日常的に用いていた。そしてはるかに深遠なもの——規則を伴う数としてのゼロ——を、六二八年、ブラフマグプタのテクストにおいて所有していた。記号も概念も、年代の定まった単一の朝に固定することはできない。アトラスもそのようなふりはしない。

何が変わり、何が置き換えられたか

位取り記号から対象へ

ブラフマグプタの規則が動かし始めた変化は、述べるは易く、過大に述べることは難しい。それはゼロを記号から数へと昇格させることを完成させた。以前は、二〇五と書く書記が十の位が空であることを示す手立てを必要とし、点や円がその役を果たした——一種の句読点である。以後は、その同じ記号が、方程式に入り、財に対して負債を釣り合わせ、それ自身の法則に従う一個の量となった。置き換えられたのは、対抗する数体系というより、算術が何のためにあるかについての思考の様式全体であった。

真のゼロを備えた成熟した位取り記数法が何を可能にし、その不在が何を閉ざすかを考えてみよ。

• アルゴリズム的計算。 十個の記号と位取りの桁があれば、加算、減算、乗算、長除法は、誰もが学び検証しうる機械的手続きとなる。対照的にローマ数字は、本格的な計算には物理的な算盤を要する。記法そのものが仕事を担いえないのだ。
• 通常の対象としての負量。 負債、赤字、そして基準線より下の方向が、逆説的なものではなく計算可能なものとなる。
• 閉じた体系としての代数。 数直線が今や正から負へとゼロを貫いて連続的に走るため、方程式を書き、移項し、規則によって解くことができる。
• やがて訪れる万物の算術化。 後代のあらゆる計算技術——帳簿、対数表、機械式計算機、そしてその全宇宙が０と１から築かれるコンピュータの二進レジスタ——は、数であるゼロを前提としている。

これらの帰結のうち最も深いのが最後のものであり、明言しておく価値がある。現代のコンピュータは、根底において、０と１という二つの記号を規則に従って操作する機械である。そしてその対のなかの０は位取り記号ではなく、値、すなわち機械が１とまったく同じように加え、比較し、記憶する一個の量である。デジタル世界のあらゆる層は、トランジスタから表計算に至るまで、無が計算しうる数であるという前提の上に立つ。その前提はブラフマグプタのものである。六二八年の白樺樹皮の点とサンスクリットの一詩から、この一文が読まれている装置の二進レジスタへと至る線は、長く間接的である——それはバグダードとトレドとピサを経由する——が、途切れてはいない。アトラスがこの伝播の規模と持続性を最大に評価するのは、まさにこの理由による。今日、地上のいずれかで行われる量的行為で、不在を数とするというあの決断のうえに、どこか遠くで、走っていないものはほとんど存在しないのである。

その置き換えは緩慢であり、インド国内では、覆すべき支配的な旧体系がなかったため、おおむね不可視であった。真の置き換えは他の場所で、数世紀後に起こる。インドの方式が西方の二つの根づいた伝統——ローマ数字と計算盤——と出会い、長い闘いののちにそれらを置き換えたときである。その後の戦いは、この記録に続く記録に属する。ここで肝要なのは、その弾薬が六二八年に鍛えられたということである。

グワーリオル八七六年と物質としてのゼロ

インドの地における、確実に年代づけられた最古の位取りのゼロの前に立ちたければ、中央インドの高地にあるグワーリオルの城砦に赴き、ヴィシュヌを祀る寺院の慎ましい石碑を見出せばよい。八七六年と年代づけられ、それは寺院への寄進を記録している。縦一八七、横二七〇ハスタの庭園が、日に五〇の花輪を産する、と。二七〇の０と五〇の０は小さな円で、岩に刻まれている——曖昧さがなく、かつ確固と年代づけられたインド最古のゼロであり、ブラフマグプタがそれらに意味を与えた規則を書いてから四半千年後のものである⁶。

グワーリオル碑文は、着想をその最も有名な言明によって年代づけたくなる誘惑への有益な矯正である。ブラフマグプタの規則は六二八年のものであり、年代づけられた最古の石のゼロは八七六年のものであり、バクシャーリーの点は両者より古いが年代づけがより難しい。教訓は、いずれか一つの年代が誤っているということではなく、数学的着想と、その記法と、その碑文としての残存とが、三つの異なる時計であり、三つの異なる速度で走っているということである。確実に言えるのはこれである。九世紀までに、書かれたゼロを備えた十進位取り記数法は北インド全域で日常の行政的使用のうちにあり、花の値を記すべく寺院の壁に刻まれていたのだ。

西方への跳躍——シンドからバグダードへ

伝播の第二の糸は西へ走り、それは記録に残る単一の瞬間を貫いて走る。七七〇年頃——史料は正確な年で一致しない——新たに築かれた都市バグダードにおいて、アッバース朝カリフのアル＝マンスールの宮廷に一使節団が到着し、その一員のなかに、シッダーンタの伝統に属するサンスクリット天文学文献を携えた学者がいた。天文学と占星術に真剣な渇望を抱く支配者であったアル＝マンスールは、その素材をアラビア語に翻訳するよう命じた。学者アル＝ファザーリー（al-Fazārī）は、この来訪者とともに、『シンドヒンドの天文表』（Zīj al-Sindhind）——「シンドヒンドの天文表」、シンドヒンドとはシッダーンタのアラビア語表記である——として知られる翻訳を生み出した⁷。

使節団はシンド、すなわち下流インダスのインド化された地方から来ており、それが携えた文献は、ブラフマグプタが著したのと同じブラーフマパクシャの天文学に属していた。ゼロを備えた十進の数字は、この天文学の内部に束ねられて到来した——目玉としてではなく、その天文学がたまたま用いていた記法として。深遠な伝播はしばしばこのように働く。世界を変える道具は貨物として旅する。誰かが実際に欲した積荷の内に隠れて。アル＝マンスールが欲したのは惑星表であった。彼が併せて受け取ったもの、そして収蔵されたいかなる惑星表よりも長く残るものは、数を書き記す一つの方法だったのである。

歴史家デイヴィッド・ピングリー（David Pingree）は、アル＝ファザーリーの著作の断片を再構成することに生涯を費やし、初期アラビア天文学の伝統が、後にギリシャ天文学——プトレマイオスの『アルマゲスト』——がそれを支配するようになる以前に、いかに徹底してこのサンスクリットの遺産に形づくられたかを示した。二、三世代のあいだ、インドの方法とインドの数字は、アッバース朝の宮廷をほぼ独占していたのである。

何が旅し、何が旅しなかったかは、正確を期す価値がある。バグダードに到達したのは、生きた天文学の実践——天文表、方法、それらを動かす算術——であって、数の哲学ではなかった。アッバース朝の翻訳者たちは実務にあたる天文学を欲し、インドの数字を実務用の道具立ての一部として取り入れた。ジョージ・サリバ（George Saliba）は、初期イスラム科学がギリシャ古代とヨーロッパ・ルネサンスとのあいだの受動的な貯蔵庫ではなく、受け取ったものを変容させる生成的な伝統であったと詳細に論じており、インドの数字の運命は彼を裏づける⁹。数世代のうちにアラビアの数学者たちは、数字を単に写しただけでなく、その上に築いた。アル＝フワーリズミーの体系的な算術と彼の代数は、インドの記数法の書き写しではなく、それを新たな仕事に就かせたものである。この伝播は小包ではなく、種子だったのだ。

世界を呑み込んだ語——シンドヒンドからアルゴリズムへ

シンドヒンドの翻訳から二世代のうちに、九世紀最初の数十年間にバグダードで働いたムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミーは、インドの数字を用いた計算についての論考を著した。そのアラビア語の原本は失われており、それは十二世紀のラテン語訳でしか現存しない。その訳は「ディクシト・アルゴリトミ（Dixit Algoritmi）」——「アル＝フワーリズミー曰く」——の語で始まる。彼の名のラテン語化された形、アルゴリトミは、新しい数字を用いた計算を指すヨーロッパの語となり、そして長い意味の漂流を経て、我々の語アルゴリズムとなった。彼のもう一つの大著『キターブ・アル＝ジャブル』（Kitāb al-Jabr）は、西方に代数（algebra）の語を与えた。メンゾ・フォルケルツ（Menso Folkerts）による、現存するラテン語算術書の校訂版は、インドの計算法がいかにアラビアの名をまとってヨーロッパに入ったかを一行ずつ再構成している⁸⁹。

数字そのものが、その旅する名をここで得た。シュンヤ、「空虚」は、アラビア語でスィフル（ṣifr）、「空」と訳された——ラテン語のゼフィルム（zephirum）、イタリア語のゼフィロ（zefiro）を経て、英語のサイファー（cipher）とゼロ（zero）双方の源であり、同じ記号を表す二語が商人たちの口のなかで分かれたものである。この装置一式——十進の数字、位取りの桁、数であるゼロ——は、イスラム世界においてアル＝ヒサーブ・アル＝ヒンディー（al-ḥisāb al-hindī）、「インドの計算」として知られるようになった。その起源を誠実に保つ名である。二世紀後、博学者アル＝ビールーニー（al-Bīrūnī）——その『キターブ・フィー・タフキーク・マー・リル＝ヒンド』（Kitāb fī Taḥqīq mā li'l-Hind、1030年頃）は中世イスラム世界で書かれたインド科学についての最も探究的な記述である——は、なおその記数法とシュンヤをインドのものとして記録しており、この伝播の源に対する第一級の証人となっている¹²。だがその誠実さは旅の次の行程を生き延びなかった。この記録はバグダードで、八三〇年頃で止まる。そこでインドの数字はアラビアの数学となり、それらがどこから来たかを忘れることになるラテン・ヨーロッパへとさらに旅立とうとしていた。その先の連鎖——バグダードからコルドバ、トレド、そしてピサへ、そしてその途上で被った代償——は、この記録に続く記録において語られる。

立ち止まるに値する小さな皮肉がある。サイファー（cipher）の語とゼロ（zero）の語は同じアラビア語のスィフルから下り、それ自体がサンスクリットのシュンヤの翻訳借用である。そしてヨーロッパでは幾世紀にもわたって「サイファー」が数字のゼロと、転じて秘密の書法との双方を意味した。新しい算術が、それを読めぬ者には不透明だったからである。「デサイファー（decipher）」とは、もとは奇妙なインドの記号を読み解くことであった。無を表すただ一つの外来の記号は、あまりに斬新で、あまりに強力であったため、その名は暗号化されたもの、隠されたものの代名詞となった。その一つの語根が英語に二つの語——一つは数を表し、一つは秘密を表す——を与えたことは、輸入されたゼロがかつていかに異質で、いかに重大に感じられたかを示す言語的化石である。

代償は何であったか

小さな直接的請求

このアトラスの記録の大半は、危害の帳簿である。これはそうではない。そうでないふりをすることは、この方法を歪めることになる。数としてのゼロの伝播は、その機序そのものにおいて、ほとんど代償を伴わなかった。ブラフマグプタが規則を書くために征服された者はいない。シッダーンタをバグダードへ運んだ使節団は、軍ではなく学術的使節であった。翻訳を委嘱したカリフは、知識を強奪していたのではなく購っていた。それを供給したインドの学者たちは、記録が示すかぎり、彼らの科学を重んじる宮廷における自発的な参加者であった。これは富をもたらす伝播である——受け取る文化が恒久的に豊かになり、送る文化は自らが有していたものを何一つ失わなかった事例である。

これがいかなる種類の伝播であったかを平明に述べておく価値がある。というのも、代償を跡づけるというアトラスの習性は、あらゆる交換を強盗のように見せかねないからである。この収集のなかのいくつかの伝播は強盗である。征服の背に負われて運ばれた技術や信仰、そののち捨て去られた人々から抽出された技芸。これはそのうちの一つではない。十進のゼロは、フェニキアの商人からギリシャ語話者への文字の受け渡しに近い——商業的・学術的な境界を越えて手渡された道具であり、より優れていたゆえに採用され、その受け渡しにおいて強いられた者も奪われた者もいない。アトラスがかかる伝播を評価するとき、それが測るのは交換の暴力——それはほとんど皆無であった——ではなく、そののち世界がそれについて保った記録の誠実さである。

まさにそれゆえに、ここでの代償の深刻度はゼロではなく低い側に位置づけられる。アトラスは中立を装わぬのと同じく感謝も装わない。そして名指すべき現実の代償が二つある。一つは送る文化に内在するもの、一つは下流の文化によって課されたものである。

知は静謐な蓄積ではなく、闘争を通じて動く

第一の代償は見逃されやすい。それは源となった伝統そのものの肌理のなかに埋もれているからである。インド数学を、平穏で、集団的で、無私の営み——沈泥のように積もる洞察——として描く像は、近代のロマンスであり、そして偽りである。ブラフマグプタ自身の書物がその証拠である。彼はアーリヤバタと彼に続いた天文学者たちを引き裂く一章を書き、その調子は戦闘的で、ときに侮蔑的である。ゼロの規則は、名指しされた好敵手への持続的な論駁からわずか数章離れたところに収まっている。

これはこの物語をいかに語るかにとって重要である。ゼロの誕生を、静謐に手渡された贈り物として提示することは、多くの知的前進と同じく、対抗心と、職業上の嫉妬と、競争相手に対して正しいと証明されることへの衝動のうえに走った過程を、感傷化することである。その代償は小さく拡散している——ブラフマグプタの論駁で死んだ者はいない——が、それはアトラスが気にかける意味での代償である。それは、凱旋的な記述が編集して削り取ってしまう、真の物語の一部なのである。ここで知が前進したのは人々がそれをめぐって争ったからであり、その争いは、整然とした版が消し去る評判と度量の犠牲者を残したのだ。

帰属の抹消——世界はいかにして自らの礎の名を取り違えたか

より大きな代償は、ある特定の種類の窃盗である——自由に与えられ自由に取られた道具の窃盗ではなく、名の窃盗である。イスラム世界が几帳面にアル＝ヒサーブ・アル＝ヒンディー、「インドの計算」と呼んだ体系は、ラテン・ヨーロッパに到達し、ヨーロッパ人の口のなかで「アラビア数字」となった。賛辞は使者に払われ、著者からは差し控えられた。近代の大半を通じて、世界の学童たちは、その起源を半大陸と一文明まるごとによって誤って帰せられた記号でもって書くことを学んできたのである。

その抹消は単一の悪意の行為ではなかった。それは長い中継における通常の摩擦であり、そこでは各文化が、道具をそれを受け取った隣人にちなんで名づけたのである。

• インドはゼロを数とし、それをシュンヤと呼び、十進位取り記数法を土着の所有物として用いて計算した。
• アッバース朝の世界はそれを受け取り、誠実に名づけ——アル＝ヒサーブ・アル＝ヒンディー——その上に自らの数学を築いた。
• ラテン・ヨーロッパはそれをアラビア語の典拠から受け取り、それにちなんで名づけた。ヌメルス・アラビクス（numerus Arabicus）、「アラビア数字」、定着した語である。
• 近代世界はヨーロッパの名を受け継ぎ、それを地球規模化した。かくして「アラビア数字」という語句は、いまやリマから東京までの教科書に収まり、一人のサンスクリット天文学者の規則が初めて数へと変えた記号を言い表しているのである。

歴史家がいまや好む妥協的な用語——「ヒンドゥー・アラビア数字」——は記録を修復する試みであり、それはよくても部分的な修復にすぎない。R・C・グプタ（R. C. Gupta）は、一九九五年の、率直にも「Who Invented the Zero?」と題された論考において、もつれた主張を精査した。俗な帰属が証拠からあまりに遠く漂流していたからにほかならない¹⁰。キム・プロフカーの『Mathematics in India』（2009）は標準的な現代史であり、史料が実際に支持するもの——七世紀までのインドによる数としてのゼロの実体化——を、あらゆるものをインドに帰そうとする民族主義的な誇張からも、その達成をバグダードに帰し、あるいはさらに悪いことに、承認された負債なしに継ぎ目のない「西洋」数学へと吸収してしまう旧来のヨーロッパの習慣からも、注意深く区別している³。

これは何ら不平を演出するものではない。抹消された帰属を名指すことの狙いは、遡及的な謝罪を要求することではなく、現実の知的帰結を持つ記録を訂正することである。科学の標準的な系譜がギリシャからローマ、中世ヨーロッパ、近代へと走り、イスラム世界が単なるギリシャ文献の「保存者」として記入され、インドが物語からまるごと省かれるとき、結果として生じる像は単に不完全であるだけではない。それは、近代西洋が自らについて語ってきたある特定の記述にとって、荷重を担うものなのだ。十進のゼロはその記述をその根において穿つ。量的思考の最も基本的な道具——このアトラスの参考文献に引かれるあらゆる方程式が書かれている記法——は、西インドの地方の町の七世紀の天文学者によって数とされ、シンドからの使節によって西方へ運ばれ、その旅の最終段階で、誤った人々にちなんで名づけられたのである。最初の著者を記録に回復させることは感傷ではない。それは正確さであり、それこそがアトラスの負う唯一の忠誠なのである。

境界の標識

アトラスは帰属の抹消を、帳簿上の些事ではなく現実の代償として扱う。誤った帰属には帰結があるからである。一つの文明が自らの礎を誰が築いたかを忘れるとき、その文明は自らの能力がどこから来たかについて偽りの物語を自らに語る——そしてその偽りの物語は、ヨーロッパの自己理解の長い歴史において、「西洋」を理性と科学の自作の著者、誰にも負うところのない存在とする像を支えるために動員されてきた。ゼロは、その像に対する入手可能な最も鋭い反証の一つであり、まさにそれゆえにこそ、そのインド起源は平明に、そして繰り返し述べられるに値するのである。

とはいえ、代償を誇張してもならない。この伝播において、インドから力ずくで抽出されたものは何一つない。借用のために立ち退かされた住民も、略奪された都市も、抑圧された伝統もない。請求書は盗まれた名と編集された歴史であって、死者の数ではない——だからこそこの記録は、代償の尺度の穏やかな端に、四ではなく一として位置づけられる。それがアトラスに含められるのは、危害が大きかったからではなく、達成があまりに大きく、その誤った帰属が思考の歴史における最も重大な忘却の行為の一つとなったからである。ブラフマグプタはゼロによる除算を誤り、その誤りを誠実な境界の標識として立てたまま残した。彼の規則を継承した文明は著者を取り違え、そしてきわめて長きにわたって、標識をまったく残さなかったのである。