インド数字はバグダードに到り、世界の数字となる

インド数字以前、数はどう数えられていたか

インドの十進位取り体系が広まる以前、主要な識字文化が用いてきた書記数字体系には、いずれも厄介な特徴があった——それらは数量の「記録」には適していたが、その上で「演算」を行うのには不向きであった。

ローマ数字体系は、地中海一帯と中世後期までのヨーロッパの大半で使われ、1（I）、5（V）、10（X）、50（L）、100（C）、500（D）、1000（M）に固有の記号を用いた。それ以外の数量は組み合わせで表される。7はVII、1945はMCMXLVといった具合である。この体系には位取り価値がない——記号の「位置」はその数量的意味を変えず、隣接する記号との関係を変えるだけである。零の記号もない。埋めるべき位がそもそも存在しないからである。この体系は、扱いにくい長さの文字列を用いずに数千までの正整数を表しえ、教養あるローマ人ならこれを流暢に読めた。しかし、大きな数の実用的な乗算と除算を支えることはできない。MCCXLVIにCCCLXXXVIIをかけ算しようとしてインド数字に変換せずに済まそうとした者なら、その理由を知っている。累積的で非位取り的な構造は、現在の小学生に教えられる長い算術手順のアルゴリズムに馴染まない。¹

したがって、本格的なローマ式の計算は書面で行われたのではない。それはアバクス（abacus、計算盤）——水平な線あるいは溝のついた平面で、その上で小石や駒を動かして数量と演算を表す——を用いて行われた。書記体系は非位取りであっても、計算盤は位取り的装置であった。熟練したローマの会計士はアバクスで相当の計算を行い、最終結果のみをローマ数字で書き留めえた。ローマ帝国の財産管理、大公共事業の建設、皇帝徴税に関わる人口調査——これらすべてはアバクス算術と公証書記録によって執行された。²

ギリシャの数字体系は、それと比べてもむしろ劣っていた。ギリシャ語ではアルファベットの諸文字を数字として用いた。1はアルファ、2はベータ、3はガンマ、と9のテータまで進み、続いて10のイオタ、20のカッパ、というように。さらに古拙的な文字（ディガンマ、コッパ、サンピ）が空きを埋めるために用いられた。ローマ数字と同じく、ギリシャの字母数字には位取り価値も零もない。計算には外部の補助具が再び必要であった。ユークリッド幾何学を発展させた数学的ギリシャ人と、初期ヘレニズム期天文家は、自分たちが用いえた算術が代数的操作を支えるに足るものでなかったがゆえに、まさに幾何学的形態において証明を進めたのである。アレクサンドリアのディオファントス（紀元3世紀）の『算術』は、ときに最初の代数と呼ばれるが、その記号体系は基礎的なもので、演算は計算手順ではなく散文として呈示される。

メソポタミアの六十進法（基数60）の体系は、楔形文字の数学・天文テクストで用いられたが、これには位取り価値があった。これは、現代世界が時を60分、分を60秒に分け、円を360度、日を24時間に分けて受け継いだ体系である。紀元前1千年紀末から紀元1千年紀初頭のバビロニア天文家は、ギリシャ伝統に並ぶことのなかった天文学的精度を達成した。位取り体系が、その仕事の要請する長い計算を支ええたからである。しかし体系には初期に零の明確な記号がなく（バビロニア人は位取り上の空隙で対応し、後にプレースホルダー記号を導入した）、楔形文字を用いる官僚文化を超えて広がることもなかった。³

漢字の数字は混成的な性格を備えていた。日常的に書かれる数字はローマ式と同じく非位取りであったが、数学者と天文家が用いた籌算（chōzan）の数字——異なる向きの算木が、異なる位における数を表す体系——は、本質的に位取り的であった。漢代までに、漢人数学者は計算用途に位取りの伝統を持っていたが、それは書記表記ではなく、物理的な算木操作のなかに担われていた。漢人の伝統は洗練された数学を生んだ——皇帝期初期の『九章算術』は線形連立方程式の解法アルゴリズムを含む——が、書記上の表記が普遍的な位取り体系へと一般化することはなかった。⁴

インドの数学者は別の環境で活動していた。グプタ朝後期および後グプタ期の初頭（紀元5世紀から7世紀）までに、彼らは九つの桁字記号（1から9）と——決定的に重要な——プレースホルダーとして機能する書記記号としての零を備えた、書記的な十進位取り体系を用いていた。最古の明確に年代づけられた書記の零は、紀元876年、中央インドのグワーリヤルにある寺院碑文に現れるが、体系自体は少なくともその二世紀前の数学書に文書化されており、おそらくその数世紀前から学問的に使用されていた。⁵

ブラフマグプタが行ったこと

インドの数学者ブラフマグプタは、紀元628年、ビッラマーラ（現代のラージャスターン州ビーンマール）で活動し、『ブラフマスプタシッダーンタ Brāhmasphuṭasiddhānta』（「ブラフマーの正しく確立された教説」）を著した。これは数学と天文学の包括的な論書である。位取り体系を用いた最初のインドのテクストではない——アーリヤバタの『アーリヤバティーヤ』（紀元499年）はこれに関連する記法を用いており、それより古いシュルバスートラと文法学文献も位取り算術を前提していた。ブラフマグプタが行ったのは体系化である。彼は正の数、負の数、そして零に対する演算について明示的な算術規則を与えた。彼は零をプレースホルダーにとどめず、一つの数として扱った——他の数に対して加え、引き、掛け、（零による除算は不確定の結果を生むという有名な例外を伴いつつ）割ることのできる量として。⁶

ブラフマグプタの規則の主要なものを挙げれば次のとおりである——二つの正の和は正である、二つの負の和は負である、正と負の和はその差である、同符号の積は正、異符号の積は負である、零をいかなる数から引いてもその数を与える、いかなる数を零で割っても、ブラフマグプタの語で「kha-cheda」（「空によって割られた」）を生む——彼はこれを清浄な不定の結果としてではなく、限界のない量として扱った。零による除算の扱いは、その後の千年にわたって数学的思考のなかで完全に解決されることはなかったが、ブラフマグプタが据えた枠組みは、その後のあらゆる仕事が築かれる枠組みであった。

ブラフマグプタはまた、線形・二次方程式を解く体系的手順を与え、幾何図形の体積と面積を相当の精度で計算し、惑星の位置、食、そして年と太陰月の長さを計算する洗練された天文モデルを呈示した。この天文モデルは、惑星運動の取り扱いにおいて、ある面では同時代のギリシャ天文学に先んじていた。論書はまた、ディオファントス方程式、代数的恒等式、そして後に組合せ論と呼ばれることになる事項に関するインドの先行研究を拡張している。

『ブラフマスプタシッダーンタ』を生んだインドの数学伝統は、単一著者の伝統ではなかった。それはアーリヤバタ、ブラフマグプタとほぼ同時代のバースカラ1世、そしてジャイナ教数学派の先行業績の上に築かれていた。後にこの伝統は12世紀のバースカラ2世によって拡張される。彼の『リーラーヴァティー』『ビージャガニタ』は、今日のインドにおいても基礎的な数学テクストとして読まれている。『ブラフマスプタシッダーンタ』は西方へ旅したテクストであるが、それは、はるかに大きく古い伝統の可視的先端として旅したのである。

バグダードへの伝播

インドの学問的数学から、バグダードのアッバース朝宮廷へ至る経路は、外交的・学問的接触を通っており、古い歴史叙述はこれを過小に扱うことがある。インド亜大陸とイラン世界は、いかなるアラブのカリフが存在する以前から、何世紀にもわたって持続的な学問的接触のなかにあった。紀元7世紀半ばのアラブ征服に屈した帝国であるサーサーン朝ペルシアは、クスラウ・アヌーシルワーン（在位 紀元531〜579年）の時代、クテシフォンの宮廷でインドの天文家を迎え、インド天文書をパフラヴィー語（中世ペルシア語）に訳していた。それらインド天文書のパフラヴィー版の一部は、サーサーン朝の崩壊を生き延び、紀元8世紀および9世紀にアラビア語に訳された。

最も精確に年代づけうる伝統は、紀元770年頃の使節である。文献目録家イブン・アル＝ナディーム（Ibn al-Nadīm）は、紀元988年に著した目録『フィフリスト al-Fihrist』のなかで、カリフ・アル＝マンスール（在位 紀元754〜775年）の宮廷にインドの学術使節が到来し、サンスクリット天文書を持参したと記している。アル＝マンスールはこのテクストをアラビア語に訳すよう命じた。アラビア語典拠でヤアクーブ・イブン・ターリク（Yaʿqūb ibn Ṭāriq）とムハンマド・イブン・イブラーヒーム・アル＝ファザーリー（Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī）と名指される主要訳者は、『シンディンド Sindhind』を生み出した。これはブラフマグプタの『ブラフマスプタシッダーンタ』を関連するインド天文書と組み合わせたアラビア語版である。⁷ 『シンディンド』を経由して、インドの十進数字、零、そしてその上での演算規則が、アラビア語の学問へ入った。

知恵の館

伝播が完成された制度的場が、バグダードの「知恵の館 Bayt al-Ḥikma」であった。アル＝マンスールの治世以来、図書館兼翻訳事業として何らかの形で存在してきたこの機関は、アル＝マアムーン（在位 紀元813〜833年）のもとで大幅に拡張され、当時の世界が見たことのない大規模な持続的翻訳事業の中心となった。ギリシャの哲学・数学・医学・科学の諸著作はギリシャ原典あるいはより古いシリア語訳からアラビア語へ訳され、サンスクリットの天文・数学諸著作はサンスクリット原典あるいはより古いパフラヴィー版から訳され、ペルシア系の歴史・文学諸著作も新しいアラビア語の学問伝統に吸収されていった。制度的取り組みは意図的なものであった。アル＝マアムーンと後継者たちは、ビザンツの知的体制と競うため、また、地中海世界とインド世界の先行文明から継承された学問の修得を、カリフの正統性を示す指標と理解していたため、前例のない規模で学問に資金を投じていた。

ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミー（Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī、紀元780年頃〜850年頃）は、その業績によってインド数字をアラビア語圏で正典的なものにした、知恵の館の人物である。アル＝フワーリズミーの姓はアラル海周辺の中央アジア地域フワーリズム（Khwārizm）を出身地として示唆する（ラテン語典拠における名は Algoritmi となる）。彼はアル＝マアムーンの宮廷で活動し、二つの基礎的な数学書を生み出した。

第一の書、『キターブ・アル＝ジャブル・ワ・アル＝ムカーバラ Kitāb al-Jabr wa-al-Muqābala』（「修復と均衡の書」、紀元825年頃）は、方程式の体系的理論を呈示した。線形・二次方程式を標準手順によって解き、方程式の型を少数の正典的形式に分類し、それぞれの手順を実数値の例題と幾何学的証明によって示している。本書は英語に「algebra」（代数）の語を与えた（al-jabr に由来し、引かれた項を方程式の反対側へ移す操作を指す）。本書は12世紀にラテン語に訳された——まず1145年にトレドのチェスターのロバート（Robert of Chester）によって、続いて間もなくクレモナのジェラルド（Gerard of Cremona）によって——そして同時期に創設されつつあった新しい大学のラテン語教程に入っていった。⁸

第二の書、『キターブ・アル＝ジャムウ・ワ・アル＝タフリーク・ビ・ヒサーブ・アル＝ヒンド Kitāb al-Jamʿ wa-al-Tafrīq bi-Ḥisāb al-Hind』（「インド人の方法による加減の書」）は、インドの十進位取り算術をアラビア語で明快に解説した。アラビア語原典は失われている。本書は12世紀のラテン語訳、『アルゴリトミ・デ・ヌメロ・インドルム Algoritmi de numero Indorum』（「インド人の数についてアル＝フワーリズミー」）と題された形でのみ現存する。このラテン語の冒頭句から、ヨーロッパ中世は「algorism」、後の「algorithm」という語を、あらゆる体系的計算手順を指すために取り入れた。今日のあらゆる「アルゴリズム」の用法——計算機科学において、広告において、プラットフォーム資本主義批判において——は、フワーリズミーというアラビア人数学者の名のラテン語転写から降下している。⁹

知恵の館の事業は、アル＝フワーリズミーの仕事から一世紀のうちに、繁栄するアラビア数学の伝統を生み出した。アル＝バッターニー（紀元858〜929年頃）は三角法的天文学を精緻化した。アブー・アル＝ワファー・アル＝ブーズジャーニー（紀元940〜998年）は、その後一千年にわたり西方の三角法が用いることになる三角法恒等式を発展させた。アル＝ビールーニー（紀元973〜1048年）は、インド天文学についての包括的比較研究『インド誌 Taḥqīq mā li-l-Hind』を著し、これは異文化間数学的接触の史学において基礎的文書として今もなお参照される。ウマル・ハイヤーム（紀元1048〜1131年）はフワーリズミー的代数を、三次方程式の体系的解へと拡張した。紀元9世紀から12世紀にかけてのアラビア数学の累積的達成は、絶対値において、ヘレニズム期アレクサンドリア以降の地中海世界がそれまでに見た最も生産的な数学的活動期であり、それはギリシャ・インド・ペルシアの諸源泉を統合した、知恵の館による事業の上に乗っていた。

ラテン・ヨーロッパへの到来

ラテン・キリスト教ヨーロッパは、紀元9世紀および10世紀において、ローマ世界が一千年前に置かれていたよりもなお悪い数学的状況にあった。古典ギリシャの数学的伝統は西方では実質的に失われていた。残ったのはローマ末期にボエティウスが著した教科書、ラテン語抄訳のユークリッド、そしてローマ末期の測量官（agrimensores）に結びついた実用算術である。位取り算術は知られていなかった。アバクスとローマ数字が、修道院会計士と王室財務官の運用工具であった。

インド・アラビア数字のラテン・ヨーロッパへの伝播は、三つの経路を通った。第一にして最も帰結の重い経路は、紀元1085年のキリスト教徒によるトレド征服とその後において機能したトレド翻訳学派である。トレドはイスラム支配下でアンダルス学問の中心地であった。征服後、市はその多言語の学問共同体（アラビア語を話すキリスト教徒モサラベ、アラビア語を話すユダヤ人、数世代にわたって留まったアラビア語を話すムスリム）を保ち、アラビア語の数学・哲学・科学テクストがラテン語に移される主要拠点となっていった。翻訳者にはクレモナのジェラルドが含まれる。彼はトレドに40年を過ごし、アル＝フワーリズミーの『キターブ・アル＝ジャブル』、（アラブ人が保存していた）プトレマイオスの『アルマゲスト』、そして主要なアリストテレス・医学諸書を含む70余りのアラビア語著作のラテン語版を生み出した。初期の大学諸機関——紀元1088年頃のボローニャ、紀元1150年頃のパリ、紀元1167年頃のオックスフォード——のラテン語学問文化は、トレド翻訳の上に大いに築かれていた。¹⁰

第二の経路はシチリアであった。紀元9世紀のアラブ支配下から、紀元1091年のノルマン征服によりキリスト教側に移った地である。シチリアの翻訳者は、パレルモのノルマン宮廷、後にホーエンシュタウフェン宮廷のために、ギリシャ語およびアラビア語の典拠から訳出を行った。第三の経路は商業によるものであった。北アフリカおよびレヴァント諸港と取引していたイタリア商人は、アラブの算術を実務的に身につけ、それを本国に持ち帰った。フィボナッチとして知られるピサのレオナルド（Leonardo of Pisa、紀元1170年頃〜1240年頃）は、商人の父とともにブージア（現代アルジェリアのベジャイア）に旅し、ムスリムの教師のもとでアラブ算術を学び、イタリアに戻ってから紀元1202年に『リベル・アバキ Liber Abaci』を著した。これはヒンドゥー・アラビア数字とその商業計算における使用法を入門的に解説したものであり、ヨーロッパ商人にとっての新算術の標準テクストとなっていく。体系は、イタリアの商業簿記から13・14世紀にかけてローマ数字を駆逐し、学術数学からは14・15世紀にかけて駆逐し、ヨーロッパの日常的な識字生活からは17世紀までに駆逐した。¹¹

何を置き換え、何を変えたか

ヒンドゥー・アラビア数字は、ヨーロッパでの受容において、一千年余りにわたり中世ヨーロッパの識字を支配してきたローマ数字体系を置き換えた。それはまた、主要な計算工具としてのアバクスをも置き換えていった——ある分野では緩慢に、別の分野では即座に、また別の分野では数世紀をかけて。書記による位取り表記があれば、計算は計算駒ではなく紙の上で行いえた。結果は照合でき、手順は教えうるものとなり、方法論は教科書に書き、試問しうるものとなった。

新しい算術によって変化したものは大きい。13世紀から14世紀にかけて成立したイタリアの複式簿記は、位取り算術なしには本質的に不可能である。借方と貸方の根本的な操作は、規模の異なる数値が長く並ぶ列を流暢に加減することを要請する。それはアバクス算術には可能であったが、書面のローマ数字算術には不可能であった。ヨーロッパ商業都市の成長と、それに伴う金融商品——為替手形、合同事業、株式制度——は、新しい算術で首尾一貫した帳簿を保ちうる会計士に依拠していた。近世ヨーロッパの商業革命は、新しい数字の上に乗っていた。¹²

紀元16〜17世紀の科学革命はさらに依存的であった。ガリレオ、ケプラー、ニュートン、そしてヨーロッパ数学的自然哲学の体系化者たちは、代数操作、長い十進数の計算、方程式の体系的表現を可能にする記法のなかで仕事をしていた。ガレノス的・アリストテレス的な質的医学から、紀元17世紀の量的・実験的な自然哲学伝統への移行は、新しい算術に部分的に乗っていた。紀元1687年のニュートンの『プリンキピア』は、ローマ数字では考ええない——図的に不可能というのではなく、知的に不可能という意味において。『プリンキピア』の論証を支える記号装置は、より古い記法では支えきれない計算手順に依拠している。

体系がインド世界およびイスラム世界において何を置き換えたかは、より微妙な問いである。インドは十進記法を保ち続けた。体系はすでに存在しており、これらの領域における受容は置換ではなく連続であった。イスラム世界はインド数字を採用する以前に複数の古い体系を用いていた——その一つは、アラビア文字を数として用いる「アブジャド abjad」字母数字体系——であり、新しい体系はこれらを科学的著述において駆逐したが、伝統的な用途においては「アブジャド」が引き続き用いられた。古い記法から新しい記法へのイスラム世界における移行は、アッバース朝後期までにおおむね完了していた。

その代償は何であったか

これは「ヒドゥン・スレッズ」アトラスに記録されたなかで、もっとも清浄な単一伝播である。知的中核——ブラフマグプタの記法がアル＝フワーリズミーのバグダードへ、フィボナッチのイタリアへ、そして近代世界へと旅していった過程——は、いかなる伝播の段においても、抽出も、疫病も、征服も伴わなかった。アル＝マンスールの宮廷へ参じたインドの天文家たちは栄誉ある使節として赴いた。彼らのテクストを訳したアラブの翻訳者たちはカリフの庇護下の学者として作業を行った。後に体系をヨーロッパへ運んだラテン語の翻訳者たちは、商業と学術の交流を通じてそれを行った。体系それ自体もこの旅から益を得た。ブラフマグプタの規則はアル＝フワーリズミーとその後継者によって拡張された。ヨーロッパの採用者たちは、体系が支える会計革新を加えていった。

しかし、受け手側の文脈はすべてが清浄であったわけではない。

バグダードの知恵の館は、紀元1258年2月、フラグ・ハーン（Hülegü Khan）のモンゴル軍が市を略奪した際に破壊された。バグダードの破壊は推定9万から20万人の住民を殺し（中世アラブ年代記は最大100万人までの数字を挙げ、近代の推計はそれより低い）、それまでの四世紀にわたるアラブ学問の累積的な写本記録を収めていた図書館を焼いた。ティグリス川は、破壊された写本のインクで黒く流れたという（彩色された逸話で確認は難しい）。正確な数値が何であれ、インド数字をアラビア語に運び込んだ制度的基盤は、持続的な攻囲と暴力の一週間で消失した。バグダードのモンゴルによる破壊は、数字の贈与に対比すべき、文化伝播の永続的な犠牲である。ギリシャ・インド・ペルシアの学問を吸収し、それらを統合し、四世紀にわたって独自の仕事を生んできた制度が、紀元1258年2月に消し去られたのである。¹³

ラテン・ヨーロッパの受容は、キリスト教権力がムスリムとユダヤ人から奪い取りつつあった領域を通っていた。トレドの翻訳は、紀元1085年にカスティーリャのキリスト教軍が取った市で行われた。シチリアの翻訳は、最近排除されたアラブ人口から支配を受け継いだ宮廷で行われた。紀元1492年のグラナダで終わるイベリアのレコンキスタは、その数か月のうちに、イベリアのユダヤ人口（おそらく20万人が排除）の追放と、残ったイベリアのムスリム人口の強制改宗を伴い、紀元1609年にはモリスコ（おそらく30万人が排除）の最終的追放に至った。イベリアのレコンキスタは、本アトラスの絡み合い期の伝播「アリストテレスはトレドを経てヨーロッパへ戻る」（近刊）として、その代償の枠組みが詳しく扱われる。ここでの要点は、アンダルスからキリスト教徒ヨーロッパへの数字の伝播が、同じくアンダルスを破壊した政治過程の上に乗っていたという事実である。

世界が継承したのは、これまでに考案されたなかで最も清浄な数学的工具である。世界が同時に継承したのは、並行する弧の上にある、破壊されたバグダードの図書館と、破壊されたアンダルスの文化的生態である。本記事の頁にある数字——1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0——は、インドからの贈り物、アラブによる精緻化、そしてラテンによる伝播である。三段それぞれの文脈は、現実の歴史が善悪を併せ持つのと同じ仕方で、善でもあり悪でもあった。体系それ自体は、まぎれもない贈り物である。船とともに、また国境を越えてそれと並んで運ばれたものすべてが、贈り物だったわけではない。